高等数学

定积分

⼀、定积分的概念与性质

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}{{f(\xi_i)\Delta x_i}}$

函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，每个小区间长度依次为 $\Delta x_i$,在小区间内任意取一点 $\xi_i$,没一个单元面积为 ${f(\xi_i)\Delta x_i}$，进行求和 $S = \sum_{i=1}^{n}{{f(\xi_i)\Delta x_i}}$，当区间长度的最大值 $\lambda$趋近于0时，求和为积分。

定积分可积的两个充分条件 ：

1）函数连续则可积

2）函数有有限个间断点，函数可积分

定积分的几何意义是，函数有向面积

定积分的性质

1） $\int_{a}^{a}f(x)dx=0$积分上下限相等的时候，定积分为0

2) $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$,交换上下限，积分变号

3) $\int_{a}^{b} (\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha\int_{a}^{b}f(x)dx+\beta\int_{a}^{b}g(x)dx$

4) $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$

5) 若$f(x)=1$， $\int_{a}^{b}1dx=b-a$

6) 若 $f(x)>=0$, $\int_{a}^{b}f(x)dx>=0$

7) 若则在[a,b]上， $f(x)<=g(x)$, $\int_{a}^{b}f(x)dx<=\int_{a}^{b}g(x)dx$

8) $|\int_{a}^{b}f(x)dx|<=\int_{a}^{b}|f(x)|dx$ $(a<b)$

9) $max(f(x))=M$, $min(f(x))=m$，则 $m(b-a)<=\int_{a}^{b}f(x)dx<=M(b-a)$, $(a<b)$

⼆、微积分基本公式

1.变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

2.积分上限的函数及导数

积分变限函数 $\Phi(x) = \int_{a}^{x}f(x)dx$

定理一： $\Phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(x)dx=f(x)$

定理二： $\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=f(\psi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)$

积分中值定理 若函数 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$上连续，则在开区间 $(a,b)$内至少存在一点 $\xi$，满足

3.牛顿—莱布尼兹公式(微积分基本定理)

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

三、定积分的换元法和分部积分法

1.定积分的换元法

假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x= $\psi(t)$满足条件 $\psi(\alpha)=a,\psi(\beta)=b$, $\psi(t)$在 $\left[ \alpha,\beta \right]$上有连续导数，则可以进行如下换元公式，则可令 $x=\psi(t)$

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\psi(t))\psi'(t)dt$

若f(x)在[-a,a]是连续偶函数，则 $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$

若f(x)在[-a,a]是连续奇函数，则 $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$

对于周期函数来说，任意周期的积分相同 $\int_{0}^{T}f(x)dx=\int_{a}^{a+T}f(x)dx$

对于周期函数来说，每个周期内的积分相同 $\int_{a}^{a+nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx$

2.定积分的分部积分法(反对幂指三)

定积分公式

$=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}$） （$n$为正偶数）

$=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{4}{5}\frac{2}{3}$（ $n$为大于1的正奇数）

四、反常积分

五、反常积分的审敛法 Γ函数

1.无穷限反常积分的审敛法

$\int_{a}^{b}f(x)dx$,当a为 $-\infty$，或者b为$+\infty$则称为反常积分。

无界函数的积分

1） $\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x}dx$，左端点0，无定义，0点叫做瑕点， 这种积分也叫做瑕积分

（2）（比较审敛原理 ）

（进行放缩便于求解是否收敛，如果要求具体值还得按部就班做）

设函数 $f ( x )，g ( x )$在区间 $[a , +\infty)$上连续,

如果 $0 \leq f ( x ) \leq g ( x )$, 并且 $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$收敛，那么 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也收敛

如果 $0 \leq g ( x ) \leq f ( x )$, 并且 $\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$发散，那么 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也发散

（3）（比较审敛法1 ）

（a > 0保证的是幂函数连续不间断 ）

设函数 $f ( x )$在区间 $[a , +\infty)$上连续 $( a > 0 )$，且 $f ( x ) \geq 0$，

如果存在常数 $M>0$及 $p>1$,使得 $x^{p}f(x)\leq M$,那么反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$收敛

如果存在常数 $N>0$,使得 $xf(x)\geq N$,那么反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$发散

（4）（极限审敛法1 ）

设函数 $f ( x )$在区间 $[a , +\infty)$上连续, $p>1$，且 $f ( x ) \geq 0$，

如果存在常数 $p>1$,使得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}{x^{p}f(x)}=c<+\infty$,那么反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$收敛

（ $p>1$保证了放缩积分之后，原函数仍然是幂函数，无穷大时趋于0，如果等于1的话是对数函数，单调递增)

如果 $\lim_{x \rightarrow +\infty}{xf(x)}=d>0$,（或 $\lim_{x \rightarrow +\infty}{xf(x)}=+\infty$），那么反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$发散

（5）设函数 $f ( x )$在区间 $[a , +\infty)$上连续，如果反常积分 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|dx$收敛，那么反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也收敛。

此时 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$叫做绝对收敛，也就是说，绝对收敛的反常积分必定收敛

2.无界函数的反常积分的审敛法

（和上一个的区别就在于此时函数存在瑕点）

（1）（比较审敛法2 ）

设函数 $f ( x )$在区间 $( a , b ]$上连续，且 $f ( x ) \geq 0$， $x = a$为 $f ( x )$的瑕点，

如果存在常数 $M>0$及 $q < 1$,使得 $( x-a )^qf ( x ) \leq M$，那么反常积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$收敛

如果存在常数 $N>0$,使得 $( x - a ) f( x )\geq N$，那么反常积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$发散

（2）（极限审敛法2 ）

设函数 $f ( x )$在区间 $( a , b ]$上连续，且 $f ( x ) \geq 0$， $x = a$为 $f ( x )$的瑕点，

如果存在常数 $0 < q < 1$,使得 $\lim_{x \rightarrow a^+}{(x-a)^qf(x)}$存在，那么反常积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$收敛

如果 $\lim_{x \rightarrow a^+}{(x-a)f(x)}=d>0$,（或 $\lim_{x \rightarrow a^+}{(x-a)f(x)}=+\infty$），那么反常积分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$发散

（显然，如果瑕点在右侧只需将 $（ x - a ）$改为 $（b - x ）$，其余部分如上 ）

3. Γ函数（伽马函数）

（这里关键在于凑形式，保证e的指数上面是 -x 的形式，再考虑x的指数部分，化为一个正数减一即可 ）

（1）Γ函数收敛

（2）递推公式 $Γ( s + 1 ) = s Γ( s )$ $Γ( n + 1 ) = n！$

（Γ函数可以看作阶乘的推广）

（3）当 $s \rightarrow 0^+$, $Γ( s ) \rightarrow +\infty$

（4）余元公式 $Γ( s ) Γ(1 - s ) = \frac{\pi}{sin\pi s}$ $(0<s<1)$

（5） $Γ( \frac{1}{2} ) =\sqrt{\pi}$

定积分的应用

⼀、定积分的元素法

⼆、定积分在几何学上的应用

1.面积：

定积分求面积，这种图形的的特征为“上下左右”，上下分别是两个函数的的差值，左右是积分的上下限。

特别注意，求面积和定积分的原始含义，求“有向面积”是不一样的，需要画图了解函数的实际情况

（1）直角坐标系，分为x形区域和y形区域

$S=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx$或者 $S=\int_{a}^{b}(f(y)-g(y))dy$其中 $f(x)-g(x)\geq0$

(2）极坐标

扇形面积公式 $S=\frac{1}{2} \theta R^{2}$， 极坐标下的面积公式为 $S=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\rho^{2}(\theta)d(\theta)$

2.体积

（1）旋转体（2）平面截面面积为已知的立体的体积

$V=\int_{a}^{b}A(x)dx$或者 $V=\int_{a}^{b}A(y)dy$A(x)是体积元素

$A(x)=\pi f^{2}(x)$

3.弧长

（1）参数方程

（2）直角坐标系

（3）极坐标

$\rho=\rho(\theta)$ $(\alpha \leq\theta \leq\beta)$

三、定积分在物理学上的应用

1.变力沿直线做功

2.水压力

3.引力